Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$2$ est la matrice carrée

$2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{2}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 16 - λ & 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 16 - λ & 8 \\ 8 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 16 - λ & 8 \\ 8 & - 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 16 - λ) (- 4 - λ) - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.1

Développez

$(- 16 - λ) (- 4 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 16 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 16 \cdot - 4 - 16 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 16 \cdot - 4 - 16 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.2.1.1

Multipliez

$- 16$ par

$- 4$ .

$p (λ) = 64 - 16 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 16$ .

$p (λ) = 64 + 16 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2.1.3

Multipliez

$- 4$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 64 + 16 λ + 4 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 64 + 16 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 64 + 16 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 64 + 16 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 64 + 16 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = 64 + 16 λ + 4 λ + λ^{2} - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.2.2

Additionnez

$16 λ$ et

$4 λ$ .

$p (λ) = 64 + 20 λ + λ^{2} - 8 \cdot 8$

Étape 1.5.2.1.3

Multipliez

$- 8$ par

$8$ .

$p (λ) = 64 + 20 λ + λ^{2} - 64$

Étape 1.5.2.2

Associez les termes opposés dans

$64 + 20 λ + λ^{2} - 64$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.1

Soustrayez

$64$ de

$64$ .

$p (λ) = 20 λ + λ^{2} + 0$

Étape 1.5.2.2.2

Additionnez

$20 λ + λ^{2}$ et

$0$ .

$p (λ) = 20 λ + λ^{2}$

Étape 1.5.2.3

Remettez dans l’ordre

$20 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 20 λ$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{2} + 20 λ = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Factorisez

$λ$ à partir de

$λ^{2} + 20 λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1

Factorisez

$λ$ à partir de

$λ^{2}$ .

$λ \cdot λ + 20 λ = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez

$λ$ à partir de

$20 λ$ .

$λ \cdot λ + λ \cdot 20 = 0$

Étape 1.7.1.3

Factorisez

$λ$ à partir de

$λ \cdot λ + λ \cdot 20$ .

$λ (λ + 20) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$λ = 0$

$λ + 20 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez

$λ$ égal à

$0$ .

$λ = 0$

Étape 1.7.4

Définissez

$λ + 20$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.1

Définissez

$λ + 20$ égal à

$0$ .

$λ + 20 = 0$

Étape 1.7.4.2

Soustrayez

$20$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 20$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$λ (λ + 20) = 0$ vraie.

$λ = 0, - 20$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Multipliez

$0$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 16 + 0 & 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 4 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Additionnez

$- 16$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 4 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 + 0 & - 4 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.3

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.4

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 & 0 \\ 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{16}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{16}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 16 & - \frac{1}{16} \cdot 8 & - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 4 - 8 (- \frac{1}{2}) & 0 - 8 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + 20 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez

$20$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 20 \cdot 1 & 20 \cdot 0 \\ 20 \cdot 0 & 20 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$20$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 20 & 20 \cdot 0 \\ 20 \cdot 0 & 20 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$20$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 20 & 0 \\ 20 \cdot 0 & 20 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez

$20$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 20 & 0 \\ 0 & 20 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez

$20$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 8 \\ 8 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 20 & 0 \\ 0 & 20 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 16 + 20 & 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 4 + 20 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Additionnez

$- 16$ et

$20$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 8 + 0 \\ 8 + 0 & - 4 + 20 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 8 + 0 & - 4 + 20 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 8 & - 4 + 20 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez

$- 4$ et

$20$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 8 & 16 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when

$λ = - 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 8 & 0 \\ 8 & 16 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{4}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{4}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{8}{4} & \frac{0}{4} \\ 8 & 16 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 8 & 16 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 16 - 8 \cdot 2 & 0 - 8 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 2 y = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 y \\ y \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$